In diesem Beitrag m\u00f6chte ich meine Staatsexamensarbeit in Mathematik \u00f6ffentlich machen. Als ich in den 1970er Jahren in K\u00f6ln studierte, war in den Schulen die sog. \u201eMengenlehre\u201c besonders aktuell, weil damit eine grundlegende Einf\u00fchrung in das Rechnen und allgemein in das mathematische Denken m\u00f6glich schien. Leider ist davon bis heute nicht mehr viel \u00fcbrig geblieben, was auch damit zusammenhing, dass man seitens der damaligen Kultusministerien wollte, dass Mengenlehre m\u00f6glichst f\u00fcr alle Zwecke eingesetzt werden sollte. Die M\u00f6glichkeiten sind hierbei gegeben, setzen aber in besonderem Ma\u00dfe abstrakte Begriffsbildungen voraus, denen nicht alle Beteiligten einen sinnvollen Einsatz abgewinnen konnten. Schade eigentlich, denn im richtigen Ma\u00df eigesetzt, ist es eine recht anschauliche und effektive M\u00f6glichkeit, in mathematische Strukturen Einblick zugewinnen.<\/p>\n
Wie Mengenlehre\u00a0\u2013 im Rahmen einer axiomatischen Mengenlehre an der Hochschule\u00a0\u2013 funktioniert, kann man beispielhaft an meiner Examensarbeit nachempfinden. Das Zornsche Lemma (\u00e4quivalent dazu: das Auswahlaxiom) ist eine der grundlegenden Aussagen, die im Mathematikstudium an verschiedenen Stellen vorkommt\u00a0\u2013 ohne die etwa eine \u201evern\u00fcnftige\u201c Analysis nicht aufgebaut werden kann. Da der Beweis ausgesprochen lang ist, wird in der Regel auf eine Ausf\u00fchrung in den Vorlesungen verzichtet. F\u00fcr Interessenten sind also hier verschiedene Beweise komplett ausgef\u00fchrt.<\/p>\n
Die Arbeit habe ich geschrieben, nachdem ich im Hauptstudium 2 Semester axiomatische Mengenlehre studiert und ein Seminar zu \u201e\u00c4quivalente zum Auswahlaxiom\u201c bei Prof. Ewald Burger (1921\u20131981) und Prof. Manfred Armbrust, K\u00f6ln<\/a> besucht habe.<\/p>\n Inhalt:<\/p>\n Hier zur Information die Einleitung der Arbeit:<\/p>\n In der mathematischen Literatur erschien zum ersten mal im Jahre 1914 ein Maximalprinzip.\u00a0 F. Hausdorff <\/strong>(1914) bewies mittels des Wohlordnungssatzes (\u201eJede Menge kann wohlgeordnet werden\u201c) von Zermelo<\/strong> (1904) den Satz: \u201eJede\u00a0partialgeordnete Menge besitzt eine (Inklusions-) maximale totalgeordnete Teilmenge\u201c. Kuratowski<\/strong> (1922) leitete ebenfalls ein Maximalprinzip \u00e4hnlich zu Z2 (s.u.) aus dem Wohlordnungssatz\u00a0 her. M. Zorn<\/strong> war der erste, der vermutete, dass ein Maximalprinzip das Auswahlaxiom\u00a0 impliziert. Er behauptete (ohne Beweis), dass Z4 (s.u.) zum Auswahlaxiom\u00a0 \u00e4quivalent ist. (Ein Beweis wurde von ihm aufgeschrieben, jedoch nie ver\u00f6ffentlicht.)\u00a0 Sp\u00e4ter nannten Bourbaki<\/strong> (1939) und Tukey<\/strong> (1940) ein Maximalprinzip \u201eZornsches\u00a0 Lemma\u201c. Dieser Name ist bis heute geblieben f\u00fcr eine gewisse Art von Maximalprinzipien,\u00a0 die hier in dieser Arbeit behandelt werden sollen. Das Zornsche Lemma (1) wird\u00a0 oft im Rahmen von zwei weiteren wichtigen Aussagen behandelt. Diese sind das Auswahlaxiom (2) und der Wohlordnungssatz (3). Es ist heute bekannt, dass (1), (2) und (3) paarweise \u00e4quivalent sind.<\/p>\n Im Rahmen dieser Arbeit soll daher \u2013\u00a0ohne Verwendung des Wohlordnungssatzes und ohne Ordinalzahlen \u2013\u00a0versucht werden, eine \u00dcbersicht \u00fcber die in den mathematischen Fachbl\u00e4ttern und Lehrb\u00fcchern ver\u00f6ffentlichten Beweise des Zornschen Lemmas aus dem Auswahlaxiom zu gewinnen. Aus der Vielzahl der verschiedenen Beweise wird zun\u00e4chst\u00a0derjenige vorangestellt, von dem ich annehme, dass dieser der geeignetste ist, um einen anschaulichen Einstieg in die Beweisverfahren zu vermitteln, der ferner in der formal einfachsten Darstellung angegeben werden kann und schlie\u00dflich die st\u00e4rkste Fassung des Zornschen Lemmas liefert. Diese Bedingungen erf\u00fcllt meines Erachtens der von Kneser<\/strong> aufgezeigte Beweis. Danach k\u00f6nnen weitere \u00e4hnliche Beweise studiert werden, die ich unter dem Namen \u201eFunktions-Ketten-Methode\u201c zusammenfasse. Der von Kneser<\/strong> gegebene Beweis ist dabei als Prototyp dieser\u00a0Beweisverfahren anzusehen und nur aus den oben genannten Gr\u00fcnden wird diesem eine Sonderstellung in Abschnitt 3 einger\u00e4umt. Als weitere Methode tritt das von mir mit \u201eTurm-Methode\u201c bezeichnete Beweisverfahren auf, das im wesentlichen auf Bourbaki<\/strong> zur\u00fcckgeht. Dabei ist es unvermeidlich, dass verschiedene Formen des Zornschen Lemmas auftreten und bewiesen werden. Also ergibt sich die Aufgabe zu zeigen, dass alle hier angegebenen Formen (insgesamt f\u00fcnf) des Zornschen Lemmas untereinander \u00e4quivalent sind \u2013 unabh\u00e4ngig vom Auswahlaxiom.<\/p>\n Der Kreis wird geschlossen durch einen Beweis des Auswahlaxioms aus einer der \u00e4quivalenten Formen des Zornschen Lemmas.<\/p>\n Download: Das-Zornsche-Lemma-1<\/a> (Originalversion, einseitiger Druck)<\/p>\n\n
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